Да, мужская фамилия Котик склоняется.
Вы правы. Имя Понтий склоняется как слово викарий: о Понтии.
Верно: обработка кОсти.
Притяжательные прилагательные на -чий во множественном числе и косвенных падежах пишутся с мягким знаком: кошачьи, кошачьего.