Если речь идет о конкурсе, то кавычки нужны: на «Евровидение-2016» поедет Лазарев; конкурс «Евровидение». О написании названия Евровидение в кавычках и без них см. дополнительные материалы в статье Евровидение ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря».
Корректно: И не мешкая отправляйте рисунок на конкурс. Деепричастие не выделяется запятыми, так как оно близко по значению к наречию (не мешкая = немедленно, быстро).
Корректно с прописной (большой): Конкурс им. Чайковского.
Неясен смысл фразы. Имеется в виду, что заявка сначала выиграла конкурс, а потом ее "признали"?
Написание зависит от контекста. Если нет зависимых слов, то верно слитное написание.
См. в Непростых словах.
В этом предложении дополнительные знаки препинания не нужны.