Кажется, слово "вопросы" здесь лишнее. Просто: в своей компетенции или в рамках своей компетенции.
См. в энциклопедии «Кругосвет».
Корректно в ед. ч.
Предлог необязателен, но лучше его оставить, без предлога фраза воспринимается хуже.
Правильно: по вопросам, (каким?) входящим...
Постановка запятых не требуется.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".