В винительном падеже.

Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:

Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.

В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.

Правильное согласование: ООО "Ромашка" получилО кредит.

Нужно поставить запятую.

Правильно: к договору, заключенному...

Верно: Производитель ООО "Ромашка" выполнил...

Обратите внимание, что в предложении использованы однокоренные слова (производитель и производственное). По возможности фразу следует перестроить.

Запятая перед должностью нужна.

Тире необходимо. 

Запятая не требуется. Название должности генеральный директор пишется строчными.

Склоняется.