Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
Такая формулировка корректна.
Правильно: лапки кролика тушёные.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Кли-чка; клич-ка.