Верно: Включить в состав фонда сто тридцать два предмета, зарегистрированные в книге учета.
Корректно: зарегистрировать в книге, перерегистрировано в книге.
В художественном тексте возможно написание строчными буквами.
Это ошибка. Верно: Останешься на немного? А лучше: Останешься ненадолго?
В словарях русского языка есть только прилагательное идеомоторный (о бессознательном движении).
Правильно слитное написание.
Такая фраза возможна в просторечии и в разговорной речи. Корректнее: поровну платить за снимаемую квартиру; снимать квартиру на двоих.