Слова под ключ в кавычки не заключаются.
Верно: баллонный ключ.
1. Правильно без кавычек: под ключ.
2. Эти слова равнозначны.
1. Возможны варианты, при различном грамматическом роде предлочтительно употребление формы множественного числа. 2. Второй вариант верен.
Запятая после ключ нужна. Тире не отменяет запятой.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Строгой литературной норме соответствует вариант с брелоком.
Кавычки не нужны.