Да, это имя будет склоняться (Мории, Мории, Морию, Морией, о Мории).
Правильно: ложись.
Следует склонять это название.
Эти женские фамилии нужно склонять.
Да, если глаголол ложи́ться употреблен в следующем значении:
ЛОЖИ́ТЬСЯ, несов. (сов. лечь). Располагаться (расположиться) где-л., приняв горизонтальное положение (о людях и некоторых животных) [impf. to lie down; to go to bed]. В девять вечера Сонечка всегда ложилась спать, хотя заснуть долго не могла, и мама читала ей сказки. На осмотре врача больной лег на спину.
Мужская фамилия Грэй должна склоняться (Грэя, Грэю), женская фамилия не склоняется.
Корректно склонять.
Корректно: телефон лежит в изголовье; положить в изголовье; склониться у изголовья больного.
Это имя склонять не следует.