Правильно: контактные телефоны.
Запятая нужна, она ставится перед деепричастным оборотом.
В разговорной речи можно использовать оба варианта.
По родовому слову (классификация) можно согласовывать эту аббревиатуру по женскому роду.
Да, такое выражение корректно.
Верно написание без кавычек.
Все приведенные Вами варианты корректны.
Оба варианта верны.