Нормативной рекомендации нет, возможны варианты написания. Отметим, что в ходе освоения такие заимствования тяготеют к слитному написанию (ср.: пикап, мейкап).

Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.

См. в учебнике Е. И. Литневской, раздел Словосочетание.

Такое предложение имеет право на существование.

Это глагольные словосочетания.

Ким – мужчина или женщина? Мужская фамилия Ким склоняется, женская – нет.

Это составное глагольное сказуемое.

Костя — это особая синтаксическая структура, называющаяся именительным темы или представления. Знак препинания возможен любой из тех, которые ставятся в конце предложения: точка, восклицательный, вопросительный, многоточие. Каждый знак вносит соответствующий смысловой и эмоциональный оттенок. Подробнее см. в правиле. 

Слитное написание вместо раздельного — это орфографическая ошибка.

Предпочтительно склонять это слово как неодушевленное существительное.