Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.
Кани, Кане, Каню, Каней (или Канёй), о Кане.
Запятая не нужна, т. к. оборот с как входит в состав сказуемого.
Да, запятая поставлена правильно.
Возможно написание с тире или без знаков. Вариант с тире соответствует большей интонационной расчлененности предложения.
Вы расставили знаки препинания правильно.
Вставная конструкция а это была, конечно, она выделяется тире или скобками, запятые не нужны: Катя — а это была, конечно, она — позвонила в дверь. Катя (а это была, конечно, она) позвонила в дверь.
Орфографически правильно: иппотерапия.
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.