Это сочетание не заключается в кавычки.
Верно: баллонный ключ.
1. Правильно без кавычек: под ключ.
2. Эти слова равнозначны.
1. Возможны варианты, при различном грамматическом роде предлочтительно употребление формы множественного числа. 2. Второй вариант верен.
Запятая после ключ нужна. Тире не отменяет запятой.
Строгой литературной норме соответствует вариант с брелоком.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Кавычки не нужны.