Написание полугнилая картошка правильно.
Корректно: караоке-зал.
Корректно: ...у детей и взрослых.
Караоке – несклоняемое существительное среднего рода.
Зависит от контекста, но, если эта визитная карточка принадлежит руководителю, предлог не нужен.
Корень картош-...