Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".
Орфографически правильно: «Мой мир».
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Правильно: сдам квартиру по адресу улица Мира, дом такой-то; сдам квартиру в доме на улице Мира.
Верно написание строчными буквами: двукратный чемпион мира.
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Правильно: чемпион мира, Кубок мира.