Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Можно либо использовать кавычки разного начертания, либо закрыть фразу одними закрывающими кавычками.
Да, это вполне возможно.
Заключаются в кавычки только условные названия: Голубая мечеть, Московская соборная мечеть, но: мечеть «Сердце Чечни».