Корректно: «Левада-центр», сотрудники «Левада-центра».
Предпочтительно заключить это выражение в кавычки.
Название этой госкорпорации заключается в кавычки.
В большинстве случаев будет уместно написание без кавычек, если только эти слова не употреблены в ироническом значении.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.