Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
Оба сочетания правильны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Названия жительницы Ирака в русском языке нет, следует использовать описательный оборот: жительница Ирака.
Запятая ставится.
Правильно: икра, но во множественном числе: икры.