В обычных текстах правильно: Священный синод и Синод (если это слово выступает вместо сочетания Священный синод). В церковных текстах принято написание Священный Синод (на что и указывает словарь православной лексики).
Кавычки не требуются.
Стилистически лучше согласование по женскому роду, если речь идет о женщине.
Запятая не нужна.
Запятая перед исходя из нужна.