В этом случае лучше написать так: Выражаем благодарность индивидуальному предпринимателю А. А. Иванову.
Правильно: отправить письмо ИП (индивидуальному предпринимателю) Иванову И. И.
Женское имя Ия (а также Лия, Тия, Вия и мужское имя Гия) может склоняться двояким образом. Правильны оба варианта: Ие и Ии.
Гласный Ы или И сохраняется и в инфинитиве, и личной форме: подпрыгИвать - подпрыгИвает. Гласный Е в личной форме пропадает (ср.: потчЕвать - потчует).
Правильно: договор с ИП О. Н. Дымковцом.
Оба варианта возможны, если личному местоимению предшествует определительное местоимение весь. См.: Д. Э. Розенталь, Справочник по правописанию и литературной правке, параграф 167, п. 5.
Правильно: Индивидуальный предприниматель (ИП) Иванова А. А., действующий на основании…
Верно: Я вернулся из отпуска, из Сочи.
Грамматически правилен второй вариант. Если речь идет о договоре между учреждением и И. И. Ивановым, то вторая запятая не нужна, или, если предложение продолжается, она должна стоять после И. И.: Договор, заключенный учреждением с ИП Ивановым И. И., был передан...