Верно с маленькой буквы: карта мира.
Запятая между двумя частями сложносочиненного предложения, каждая из которых представляет собой назывное предложение, не ставится.
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".
Доступнее - нейтральный вариант, доступней - разговорный.
Допустимы оба варианта. Подробно о согласовании сказуемого см. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого
Запятая не нужна.