Это вопрос не по адресу.
Верно написание через Е.
Да, в словаре Даля зафиксировано диалектное слово груба – голландская или комнатная печь, особенно изразцовая; лежанка при печи; труба русской печи.
Правильно: в Играх Содружества.
Кавычки не нужны.
Возможно. Но только в качестве авторской пунктуации.
Корректно писать название игры с большой буквы в кавычках — как условное наименование: Молодежь играла в «Ручеек».
Верно слитное написание: нерастаможивание.