Если речь идет об объединении детей, верно: о лиге детей. Если речь идет о собственном наименовании организации - "Лиге детей". Лучше: по дороге (во время пути).
См. ответ № 196382.
Думаем, лучше в этом случае написать так: ...на Олимпийском стадионе в Риме.