Да, в определенном контексте.

См. ответ 252670.

Слова "тем не менее" не используются как вводные.

ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, частица и союз

1. Частица (часто в сочетании с противительными союзами «а», «но», а также в предложениях с союзами «хотя», «несмотря на то что», «пусть» и др.). Не требует постановки знаков препинания. 

Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате. Ю. Семенов, Экспансия-I. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга… он весь тем не менее состоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.

2. Союз (между частями сложносочиненного предложения). То же, что «но, однако». 

…Это были все-таки карты, несколько захватанные, затертые пальцами по краям, тем не менее невозможно было представить, что в них играли за столом... Ю. Бондарев, Горячий снег.

Выбор предлога зависит от контекста. Например, в конструкции с глаголом быть употребляется предлог на: быть на концерте (быть в концерте – устаревшее употребление), в конструкции с глаголом участвовать употребляется предлог в (мы не говорим участвовать на концерте). В конструкции с глаголом выступить возможны оба варианта: в концерте и на концерте. Ответ на вопрос № 255603 дополнен.

Возможные варианты: занять пост, встать на пост, заступить на пост.

Да, может.

Запятая не нужна.

Если речь идет не об описке в слове наступить (А если завтрашнего дня не наступить?), то ошибка допущена в форме подлежащего. Верно: А если завтрашний день на наступит?