Верно: скучать по лицею.
Такого фразеологизма в русском литературном языке нет.
2. Корректны оба варианта.
3. См. http://spravka.gramota.ru/hardwords.html?no=294&_sf=120 [«Непростые слова»].
Местоимение стоит в дательном падеже: скучать (по кому?) по ней.
См. в Горячей десятке вопросов.