Правильно: тихой сапой. Об этом выражении см. в «Справочнике по фразеологии».
Задом наперед пишется в два слова. Для постановки дефиса нет оснований.
Словари фиксируют варианты сочетаемости: бороться с чем, бороться против чего. Аналогично: борьба с чем и против чего. Но все же более употребительно: борьба со злом.
Устойчивое выражение: править бал.
Правильно: в зале, оказавшемся заполненным (ср.: залом, оказавшимся заполненным).
Устойчивое выражение: править бал.
Запятая не требуется.
Верно: править бал (т. е. проводить, совершать бал, а не управлять им).