Оба варианта верны.

Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:

Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.

В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.

Здесь верно: в тетрадке.

Следует писать слитно.

Верное написание: задание не выполнено.

Может быть, ребенок попробует? Ему же знания получать!

Верно: Производитель ООО "Ромашка" выполнил...

Обратите внимание, что в предложении использованы однокоренные слова (производитель и производственное). По возможности фразу следует перестроить.

Запятая нужна. Она разделяет слово единственный и относящееся к нему придаточное предложение.