Все перечисленные варианты корректны.
Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
В разговорной речи возможна замена "пойдем" на "пошли".
Нет, поскольку в роли однордных членов выступают здесь разные части речи. Ср.: Летели две птицы, одна большая, а другая на юг.
Знаки препинания расставлены верно.
Правильно гулять в праздник.
Запятые не нужны.
Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.