Я имею сердце – по-русски так не говорят. Правильно: У меня есть сердце.
Запятые ставятся. В первой строфе есть грамматическая ошибка: сердцам двум биться, как одному.
Сочетание дама сердца не требует постановки кавычек.
Нет, правильно: ему была проведена (сделана) операция на сердце.
Пунктуация верна.
Запятая не нужна.
Приложения, выраженные прозвищами или условными названиями, не согласуются с определяемыми словами, т. е. сохраняют начальную форму во всех падежах: о Ричарде Львиное Сердце.