Оба варианта возможны.
Если поздравлять с праздником, то поздравлять нужно с Новым годом. Если же поздравлять с наступлением очередного года, то поздравлять с новым, 2014 годом. Подробнее об этом непростом случае см. ответ на вопрос № 249079.
Возможны варианты. Но верно без кавычек (ср.: по прозвищу).
Верно: С Новым годом...
См. ответ на вопрос № 272467.