Правильное написание: сорт "дружба".
Предложение написано верно.
Нет, слово кружка не образовано от круг. Происхождение этого слова до конца не установлено, есть две гипотезы: 1) слово заимствовано из польского языка, где kruż 'кувшин' восходит к германским языкам; 2) слово заимствовано непосредственно из германских языков; при этом весьма вероятно, что истоичник заимствования русского слова был иной, чем источник заимствования польского kruż. Вероятно, это средневерхненемецкое krus 'кружка', 'сосуд для питья', хотя не исключено заимствование из французского языка.
Правильно: дружба длиною в жизнь.
Следует либо использовать кавычки (как у Вас), либо склонять последнее слово: раскрыть понятие дружбы.
Верно: Женская дружба - понятие, мало изученное науками.
Верно: прочнА.