Цитату можно выделить кавычками или иным графическим способом (курсивом, отступом, подчеркиванием и др.)

Лучше всего - в Дербенте, а в канцелярской речи - в городе Дербенте. В обиходной речи обычно не требуется уточнять, что Дербент - это город.

Это домашнее задание для "Справочного бюро"?

Верные варианты: в тренде юбки, в моде юбки. Остальные приведенные варианты избыточны.

Нет. Во-первых, слова диета и пост различаются по значению; во-вторых, само сочетание я на посту (в значении "я соблюдаю пост") невозможно.

Если незаинтересованный употреблен в значении прилагательного, возможно слитное написание, в случае употребления в значении причастия корректно раздельное написание. О предпочтении того или иного варианта следует судить по контексту.

Такой вариант возможен. Но возможно и иное членение.

Когда светит солнце, невозможно работать: солнечные лучи попадают на монитор, портим зрение.

Верно: базироваться в Бресте (в знач. "размещаться, дислоцироваться").