Это не так. Врач может быть мужчиной, а доктор – женщиной.
Знаки препинания расставлены верно.
Правильно: доктора, договоры и допустимо в разговорной речи договора.
См. «Письмовник».
Запятая не нужна, т. к. приложения директор и доктор наук неоднородные: директор – должность, доктор наук – ученая степень.
Запятая нужна.
Второй вариант верен.
Название должности (директор) и ученая степень (доктор) запятой не разделяются (это неоднородные приложения).