Предпочтительна форма единственного числа сказуемого: половина граждан посылает.
Корректно: вторая половина XI в. - XIII в.
Алло, да, слушаю вас и т. п. – как при телефонном звонке.
Корректно: 2-я половина 1850-х – 1861 год.
Это некорректное сочетание. Половина не может быть большей или меньшей. Правильно: большую часть.
Предпочтительно: пожелала половина опрошенных. Обратите внимание: сочетание усилить изучение неудачно.