Корректно: политологи ломают голову.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Корректно: кружить голову кому-либо.
Корректно: умереть с голоду (разг.), умереть от голода.
Мы не выполняем домашние задания.
Ударение можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав кружиться).
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.
Грамматически верно: готова к работе. Не совсем понятно, какой смысл Вы вкладываете в это выражение.