Например: Мы предлагаем нашим оппонентам диалог.
Правильно.
Оба варианта возможны. См. ответы на подобные вопросы в архиве справочной службы.
Современная литературная норма – только диалОг. Вариант диАлог маркируется в словарях как устаревший.
Деепричастный оборот не обособляется, если он выступает в качестве однородного члена предложения с необособленным обстоятельством: Как начать диалог эффективно и помня о безопасности? Ср.: Клим Самгин шагал по улице бодро и не уступая дорогу встречным людям (М.Г.); Он долго и нимало не стесняясь подробностями объяснял, почему именно монашек мог быть родителем Иванушки (М.Г.).
Верно: ...не испытывали дискомфорта.
Да, такой вариант оформления корректен.