Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Корректно: день рождения, с днем рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья, с днем рожденья.
Правильно строчными: день рождения.
Правильно: день рождения.
Правильно: у Даши день рождения.
Правильно: на день рождения.