Это выражение закавычивать не обязательно.
Если под этим названием скрывается историческое событие, то прописная буква нужна. Однако нам не удалось найти сведений об этом событии.
Вы написали правильно: не с прилагательным в данном случае пишется раздельно.
Правильно.
Фраза неудачна, лучше ее перестроить. Например: Инициатива борьбы с коррупцией должна исходить...
Эта фраза не содержит ошибок.