Выражение на голубом глазу – усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу – врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.
Это сочетание заключать в кавычки не требуется, если оно обозначает природный газ.
Запятая нужна. Слово так в значении 'например' обособляется как вводное.
Кавычки не нужны.
Оснований для постановки запятой в заголовке нет.