По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Предпочтительна форма единственного числа сказуемого: половина граждан посылает.
Корректно: вторая половина XI в. - XIII в.
Корректно: 2-я половина 1850-х – 1861 год.
Это некорректное сочетание. Половина не может быть большей или меньшей. Правильно: большую часть.