Часть речи - существительное. Член предложения - обстоятельство.
Можно говорить о том, что в словах глубокий, глубина, вглубь один и тот же корень, представленный вариантами глубок-, глуб-, -глубь. Дело в том, что при образовании от прилагательного глубокий существительных глубина и глубь отсекается финаль -ок- основы имени прилагательного.
В словах далекий, широкий, высокий «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова выделяет корни далек-, широк-, высок-.
Правильно: на глубине один метр.
Да, формы мн. ч. возможны в профессиональной речи, если имеются в виду сорта и разновидности глины.