Правильно: на гору, допустимо: на гору.
Если по контексту слово ставший относится к слову год, то верно: в году, ставшем.
Если речь идет о птицах, верно: вижу двух щеглов.
Корректно: Свидетельство участника мультимедийного урока к Году экологии в Президентской библиотеке выдано ГБОУ «Школа № 522 Адмиралтейского района Санкт-Петербурга».
Правильно: живу в районе Аэропорт.
Грамматически правильно: в городе Москве. Однако такой вариант следует характеризовать как специфически-канцелярский (т. е. употребительный преимущественно в официально-деловой речи). Он не соответствует литературной норме.