Предпочтительно слитное написание.
Правильно: купина, неопалимая купина.
Такова особенность склонения фамилий на ударный -ин и притяжательных прилагательных на ударный -ин.
Принято говорить: куриная грудка.
В разговорной речи обращение Карин возможно. Это особая звательная форма существительного, ср.: мам, Коль, Петь, Сонь.
Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности.
Тетрадь Кузина Данилы.
Верно: аутентичные курени.