Постановка запятых уместна в обоих примерах.
Слова Геннадий и Гена не однокоренные, поэтому такая проверка невозможна. В слове Геннадий корень геннадий-, в слове Гена корень ген-.
Верно: согласно приказу.
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» (М., 2011) зафиксировано: крокодил Гена.
Первая подпись гендиректора.
Верно: АО "Ромашка" в лице Ивановой В. А., действующей...
В большинстве случаев более уместным будет несокращенное написание.