Предложение построено некорректно, поэтому дать рекомендации о пунктуации мы не можем. Возможный вариант: О диагностике газовых труб и о том, кто это должен делать.
Запятые в этом предложении не нужны. Первый союз и соединяет однородные члены нефтяных и газовых, второй – бурением и разработкой. Запятая не ставится между двумя однородными членами, соединенными неповторяющимся союзом и.
Корректно: ...поздравляет Вас с профессиональным праздником - Днем работников нефтяной и газовой промышленности.
Верно дефисное написание.
Это сочетание следует писать без кавычек, если оно не употреблено в ироничном или необычном, требующем пояснений, значении.