Словари фиксируют написание «газель» (см., напр.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007).
Эта фамилия должна склоняться. Вероятно, фамилию не просклоняли из-за того, что ударение падает на последний слог. Но это ошибка: из фамилий, оканчивающихся на -а, -я ударное, не склоняются только французские (Дюма, Золя).
Верно: подровнять газон.
Корректно: Галия, Галии, Галие, Галию, Галиёй.
Стилистически нейтральный вариант: на газе. На газу – разговорное употребление.
См. «Словарь трудностей».