Да, конечно. Стенгазета – сложносокращенное слово от стенная газета (как зарплата – от заработная плата).
Корректно: прошу разместить вакансию в газете.
Верно: прошу разместить вакансию в газете.
Можно.
Лучше поставить запятую.
Оба варианта верны.
Формально все правильно, но в живой речи такую фразу встретить трудно.