Здесь слово наоборот является вводным и выделяется с двух сторон запятыми.

Правильно: крупинки пыли.

Название должности (директор) и ученая степень (доктор) запятой не разделяются (это неоднородные приложения).

Первая часть сложных слов полу... практически всегда пишется слитно с последующим словом.

Правильно: полупраздничный. 

Единого правила нет. Служебные слова и частицы обычно не имеют на себе ударения и примыкают к самостоятельным словам, например: за лесом, при луне, у сына, под шкафом. Однако в некоторых случаях ударение переходит на предлог, и тогда следующее знаменательное слово бывает безударным: на реку, на пол, по полу, за ночь. Чаще всего ударение принимают на себя предлоги на, за, под, по, а также без и из. Во всех спорных случаях рекомендуется проверять ударение по орфоэпическому словарю. 

Что именно не получается? С какими членами предложения возникли трудности?

Правильно: полупротертый матрац.

Возможны оба варианта.