Верно: выбор между тысячами жизней.
Возможны оба варианта.
Кавычки не требуются.
Выбор глагола зависит от смысла предложения.
Представить — дать, вручить для ознакомления, осведомления или официального рассмотрения, заключения.
Предоставить — дать возможность кому-либо обладать, распоряжаться, пользоваться чем-либо.
Употребительно: поседение волос.
Оба варианта возможны.