Возможно: режим "мячик" или режим мячика. В остальных примерах написание без кавычек корректно.
Имеется в виду режим работы этого пункта или что-то другое?
Если это название должности (а не целое предложение), то следует писать через дефис: тренер-инструктор по горным лыжам.
Значение слова режим 'государственный строй' в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой дано с указанием: «обычно об антинародном, антидемократическом строе». Таким образом, отрицательные коннотации у слова режим есть.
Верно: к вашим волосам вернется блеск, ваши волосы вновь обретут блеск.
Верен второй вариант. См. § 166 в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Оба варианта верны.