Да, это родственные слова.
Можно посмотреть здесь.
В словаре под ред. Д. Н. Ушакова: ХОРО'МИНА, ы, ж. (шутл., обл.). Дом, жилое строение. Однокоренные: хоромы, хоромный.
Да, Вы употребили это выражение правильно.
Корректно: Волчьи Ворота, ср. пролив Золотые Ворота, площадь Красные Ворота.
Всё верно, ошибки нет.
Проверяемые слова иногда включают в списки словарных слов. Это может быть сделано, чтобы обратить особое внимание на трудные слова, на слова определенной модели, с каким-то общим элементом (например, с сочетанием оро).